Johann Carl Friedrich Gauss (ou Gauß) (Braunschweig, 30 de abril de 1777 — Göttingen, 23 de fevereiro de 1855) foi um matemático, astrônomo e físico alemão que contribuiu muito em diversas áreas da ciência, dentre elas a teoria dos números, estatística, análise matemática, geometria diferencial, geodésia, geofísica, eletroestática, astronomia e óptica.
Alguns se referem a ele como princeps mathematicorum (em latim: "o príncipe da matemática" ou "o mais notável dos matemáticos") e um "grande matemático desde a antiguidade". Gauss tinha uma marca influente em muitas áreas da matemática e da ciência e é um dos mais influentes na história da matemática. Ele considerava a matemática como "a rainha das ciências".
Gauss nasceu em 30 de abril de 1777 em Brunsvique, no Principado de Brunsvique-Volfembutel (atualmente localizado no estado alemão da Baixa Saxônia). Sua família era de status social relativamente baixo. Seu pai Gebhard Dietrich Gauss (1744–1808) trabalhou em vários empregos, como açougueiro, pedreiro, jardineiro e tesoureiro de um fundo de auxílio por morte. Gauss caracterizava seu pai como honrado e respeitado, mas ríspido e dominador em casa. Ele possuía experiência em escrita e cálculos, enquanto sua segunda esposa Dorothea, mãe de Carl Friedrich, era praticamente analfabeta. Ele tinha um irmão mais velho do primeiro casamento de seu pai.
Gauss era uma criança-prodígio em matemática. Quando professores primários perceberam suas habilidades intelectuais, eles o apresentaram ao Duque de Brunsvique-Volfembutel, que o mandou para o Collegium Carolinum, localizado na região. O jovem estudou na instituição de 1792 a 1795, tendo Eberhard August Wilhelm von Zimmermann como um de seus professores. Posteriormente, o Duque lhe deu os recursos para estudar matemática, ciência e línguas clássicas na Universidade de Göttingen até 1798. Seu professor de matemática foi Abraham Gotthelf Kästner, a quem Gauss se referia como "o principal matemático entre os poetas, e o principal poeta entre os matemáticos" devido aos seus epigramas Estudou astronomia com Karl Felix Seyffer, com quem continuou se correspondendo após sua graduação; Olbers e Gauss zombavam dele em suas trocas de cartas. Em contraste, ele nutria admiração por Georg Christoph Lichtenberg, seu professor de física, e por Christian Gottlob Heyne, cujas palestras sobre estudos clássicos Gauss frequentava com grande interesse. Entre seus contemporâneos na universidade estavam Johann Friedrich Benzenberg, Farkas Bolyai e Heinrich Wilhelm Brandes.
É muito provável que fosse autodidata em matemática, já que redescobriu vários teoremas de forma independente. Em 1796, ele resolveu um problema geométrico que desafiava os matemáticos desde a Grécia Antiga, ao determinar quais polígonos regulares podem ser construídos por régua e compasso. Essa descoberta consolidou sua escolha pela carreira matemática em vez da filologia. O diário matemático de Gauss, uma pequena coletânea de observações sobre seus resultados entre 1796 e 1814, mostra que muitas das ideias de sua magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae (1801), já haviam surgido nesse período.
Uma história apócrifa conta que, quando era estudante primário, seu professor J.G. Büttner pediu a Gauss e seus colegas que somassem os números de 1 a 100. Para a surpresa de Büttner, Gauss deu o resultado correto de 5050 muito mais rapidamente do que o esperado. Gauss teria percebido que a soma pode ser rearranjada em 50 pares de 101 (1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, etc.). Assim, ele simplesmente multiplicou 50 × 101. Notavelmente, esse método de soma fora destacado no comentário de Tosafot, datado do século XII, sobre o Talmude Babilônico (tratado Menachot 106a), que detalha a mesma regra: "Pegue metade da quantidade total e multiplique-a pela quantidade total mais um."
Em novembro de 1804 casou-se com Johanna Elisabeth Rosina Osthoff (nascida em 8 de maio de 1780) e que faleceu alguns anos depois, em 11 de outubro de 1809. Do primeiro casamento teve três filhos: Joseph, Wilhelmine e Louis. Depois casou com Friederica Wilhelmine Waldeck, com quem teve mais três filhos: Eugen, Wilhelm e Therese.
Aos doze anos Gauss já olhava com desconfiança para os fundamentos da geometria euclidiana; aos dezesseis já tinha tido seu primeiro vislumbre de uma geometria diferente da de Euclides. Um ano mais tarde, começou uma busca crítica das provas, na teoria dos números, que tinham sido aceitas por seus antecessores e tomou a decisão de preencher os vazios e completar o que tinha sido feito pela metade. Aritmética, o campo de seus primeiros triunfos, tornou-se seu estudo favorito e o campo de sua obra prima. Para que a prova fosse absolutamente certa, Gauss acrescentou uma fecunda e engenhosa matemática que nunca foi superada.
Bartels apresentou-o a alguns influentes homens em Brunswick que, impressionados, levaram-no para que Carl Wilhelm Ferdinand, Duque de Brunswick, o conhecesse. O Duque de Brunswick imediatamente assegurou que sua educação no Collegium Carolinum continuaria até ser completada. Nos três anos em que ali esteve dominou os mais importantes trabalhos de Leonhard Euler, Lagrange e, acima de tudo, o Principia de Newton. Por seus estudos redescobriu, e foi o primeiro a provar, "a joia da aritmética", o "theorema aureum" e "teorema de ouro", conhecido como a lei da reciprocidade quadrática, que Euler tinha induzido e Legendre tentara provar, sem qualquer resultado.
Com a idade de quinze anos fez um grande avanço em línguas clássicas estudando sozinho e com a ajuda de amigos mais velhos. Teve a oposição de seu pai mas Dorothea Gauss venceu a resistência do marido e o Duque patrocinou dois anos de curso no Gymnasium. Ali ele assombrou a todos por sua maestria nos clássicos.
O método dos mínimos quadrados - Legendre publicou em 1805; Gauss já o usava em 1795. Daniel Huber raramente é citado por falta de publicação contemporânea. Este trabalho foi o começo do interesse de Gauss na teoria dos erros de observação. A lei de Gauss da distribuição normal de erros e sua curva em formato de sino, que a acompanha, é hoje familiar para todos que trabalham com estatística.
A decisão sobre o seu verdadeiro caminho, se o da filologia ou da matemática, foi feita em 30 de março de 1796, quando começou seu diário científico, que representa um dos mais preciosos documentos da história da matemática. O estudo de línguas passou a ser um passatempo para o resto de sua vida. O diário só foi conhecido pela ciência em 1898, quarenta e três anos depois de sua morte, quando a Sociedade Real de Göttingen o pediu emprestado a um neto de Gauss para estudo crítico. Ali se encontram dezenove pequenas páginas e contém 146 extremamente resumidos registros de descobertas ou resultados de cálculos, o último deles datado de 9 de julho de 1814.
Nem todas as descobertas de Gauss no período prolífico de 1796 a 1814 foram anotadas, mas muitas das que ele rascunhou são suficientes para estabelecer a prioridade de Gauss em vários campos (funções elípticas, por exemplo) onde alguns de seus contemporâneos se recusaram a acreditar que ele os havia precedido. Gauss formulou o teorema do fluxo em 1835; o arranjo final nas “quatro equações” é obra de Maxwell (década de 1860)
Muito ficou encerrado por anos ou décadas neste diário. Gauss nunca reivindicou a autoria de descobertas a que ele se antecipara (algumas se tornaram importantes campos da matemática no século XIX). No diário, há anotações muito pessoais, como por exemplo, no dia 10 de julho de 1798 há o seguinte registro: "ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ". Traduzindo-se: Eureka! todo número inteiro positivo é a soma de três números triangulares.
Embora o sentido de alguns registros esteja perdido para sempre, a maior parte é suficientemente clara. Alguns nunca foram publicados, segundo ele, por considerar seus trabalhos científicos apenas como resultado da profunda compulsão de sua natureza. Publicá-los para o conhecimento de outros lhe era inteiramente indiferente. Disse também que um tal volume de novas ideias trovejaram em sua mente, antes de ter completado vinte anos que, dificilmente, poderia controlá-las, só havendo tempo de registrar uma pequena fração delas.